リーマン予想とは何か、41.6% とは何か

まず地形を把握しておきましょう。そうしないと、この先の数字に意味が出てきません。

リーマンゼータ関数が記述するのは素数の分布です。この関数がゼロになるたびに、素数の配列にはさらに細かいディテールが加わります。このゼロになる位置数学では「零点」と呼びます。物差しの目盛りだと思ってください。目盛りが多くて細かいほど、より精緻に測れます。素数は一見乱雑に見えますが、その乱雑さの背後にある規則を決めているのが零点です。が零点です。リーマン予想が言うのは、素数を決める零点がすべて同じ縦線上に並び、1つもズレないということです。

この予想がなぜ重要か。多くの数学的結論が、まずこの予想が成り立つと仮定して導かれています。素数に一種の「ランダム性」を与えられるからです。1859 年に提唱され、現在も未解決。ミレニアム懸賞問題の7つのうちの1つで、解ければ100万ドルです。

「全ての零点が線上にある」ことを証明できない以上、数学者は一歩引いて「少なくとも何パーセントの零点が線上にあるか」を証明しようとしてきました。この割合はれっきとした成績表ですが、伸びは極めてゆるやかです。1974 年に Levinson が3分の1を証明し、1989 年に Conrey が 40.88% に到達。その後30年以上、小数点以下の桁をいじる程度で、41.6% に留まっていました。

過去37年、この数字は1パーセント未満しか動いていません。Claude は一度に25.6ポイント動かしました。67.2% の重みを測るには、この比較を見るのが一番です。30年以上かけて、小数点以下数桁を削り出すようにしか伸びなかった線を、一回で3分の2超えまで押し上げたのです。

既存の数学の成果を組み合わせた Claude

この分野には、これまで2つの流れがありました。

貢献は「組み合わせ」にあります。既存の、他の人が作った道具を、誰も試したことのない方法で組み合わせた。新しい道具を発明したわけではありません。Anthropic 自身も、Claude が使った手法でリーマン予想そのものの証明に至るとは考えていないと明言しています。

公式には短い技術的な説明があります。ここでは要約して紹介します。Claude は適切な関数空間を構成し、Weil が導入した二次形式を組み合わせました。この二次形式は、線上の零点が正定値部分空間を、線外の零点が負定値部分空間を生み出します。そして、一次モーメントと二次モーメントの情報で表される、この二次形式の階数に関する不等式を直接書き下しました。公式が見解を示した重要なステップの言葉は「勇気」です。

空間全体をひとまとめに扱い、正定値性と負定値性を同時に考慮し、この二次形式が対角でないことを許容した。ある意味で、このステップこそが、Claude が先行研究の重要な成果の上に結論を築けた理由です。

Anthropic 研究ブログ

各サブエージェントのタスクシートには5つの項目がある

コーディネーターが派遣する各サブエージェントは、書面のタスクシートを受け取ります。このタスクシートの構造こそ、記録全体の中で最も直接的に持ち出せるものです。

5番目がなぜ肝なのか

タスクシートは、各エージェントに対し、「リーマン予想が不成立と知られている対象」で自分の方法をテストすることを義務付けています。記録で名前が挙がっているのは、class number 2 の Epstein ゼータ関数、Davenport–Heilbronn 関数、線外零点を埋め込んだ Beurling 素数システム、偽の Weil 多項式です。

合わせてもう2つ。情報隔離。サブエージェントは自分のタスクシートと指定されたファイルしか見えず、メイン会話も、他のエージェントも見えません。敵対的レビュー。「定理を証明した」と主張するものは何でも、専門に間違いを探すレビューエージェントに回されます。そして、これらのレビューアの間では互いの閲覧が禁止されています。

1. 目標
   このエージェントが攻略すべき具体的なテーマ
2. 対象
   使う材料と道具を具体的に明示
3. 前提読書
   先に読むべき初期レポート（名前を明示）
4. 予測
   派遣する前に、自分で結果の予想を書き留める
5. 対照例
   「結論が不成立と知られている対象」で自分の方法をテストする
   偽物の世界で結論が出てしまうなら、方法自体に問題がある

付属2点
· 情報隔離
   エージェントは自分のタスクシートと指定ファイルのみ見える。
   メイン会話も、お互いの存在も見えない
· 敵対的レビュー
   「証明できた」と主張するものは、間違い探し専門の
   レビューエージェントへ。レビューア同士の相互閲覧は禁止

60のエージェント中、核となるアイデアを出したのは2つ。30は空振り

過程記録は、この60のエージェントを「最終的に何に使われたか」で振り返って分類しています。この成績表自体が結論です。

実際に動いたのは60のうち58。最初の2つは開始2分後に人間が中断してキャンセルしました。

公式ブログの脚注には別の分類があります。対比して見る価値があります。2つが重要な数学的アイデアの開発を担当し、13個がその2つのエージェントにアイデアを提供し、30個が試みたが新しいアイデアを出せず、13個が検証者、最後の2個が論文の初稿作成を手伝いました。2つの分類は切り口が違いますが、公式の分類はもう1段階踏み込んでいます。核となるアイデアを出した2つのエージェントは、何もないところから生まれたのではなく、背後に13個がアイデアを供給していたということです。

2つの数字を特に取り出したいと思います。空振りが30個、半分です。間違い探し専門のポストが13個。アイデアを出した2つのポストの6倍以上です。

人間の入力は、ほぼ応援メッセージ

上のルートで、人間が口を開いた4回はすべて記載済みです。それ以外はどうでしょうか。公式ブログの説明では、この従業員の入力は基本的に Claude への応援メッセージに限られ、ほとんどが keep going や believe in yourself のようなものです。

公式はもう1つ明言しています。これらの応援が、Claude が最初に抱いた自己疑念を乗り越える助けになったようだと。当初、Claude はこの種の問題で意味のあるものを生み出せるとは思っていなかったようです。脚注には、同種の励ましのプロンプトが、以前に Claude がヤコビ予想を覆したときにも使われたとあります。

もう1つ見落とされがちな事実があります。コーディネーターはほとんど自分で数学をせず、一度もネットワークリクエストを送っていません。彼がしたのは、タスクシートを書き、戻ってきたレポートを読み、次に誰を派遣するかを決めることだけ。実際に計算したのはサブエージェントたちであり、彼らは互いに見えていません。

数学者2名の検証に加え、機械が検証する証明も

AI が「証明できた」と言ったとき、なぜ信じられるのか。今回の証拠の連鎖は3層で、強さが違います。

この結果に対する外部評価で最も広まった言葉は「2013年の有界素数間隔以来、解析的整数論における最も重要な進展」というものです。この言葉の出所をよく確認してください。発言者はベンチャーキャピタル Menlo Ventures のパートナーで、数学者ではありません。原文は「かもしれない」（may be）です。日本語の転載では、発言者の身分と、その「かもしれない」が一緒に消されることがよくあります。

最終原稿をレビューしたのは Claude のみ。次の読者は人間であるべき

今回の研究で、Claude 自身が主体的に行った動作をリストにすると、こうなります。どれも従来のプロセスなら人間がやることです。

そして、過程記録はあの最終原稿について、一切の粉飾なくこう述べています。

レビューしたのは他の Claude インスタンスのみ。
次の読者は人間であるべきだ。

過程記録、「続けて」から提出まで約38時間

Anthropic 自身の評価も同様に抑制が効いています。この結果は、AI モデルが数学者の既存のアイデアの影響力と到達範囲を、新しい、時には驚くべき方法で拡張できることを示しています。たとえリーマン予想そのものを解決できなかったとしても、この結果は当初の依頼の思わぬ副産物です。公式はさらに、Claude 自身もこの発見に驚いており、当初は懐疑的だったと述べています。おそらく、訓練を通じて「未解決問題の難しさ」と「AIモデルの限界」を学んだからでしょう。

もしかすると Claude は、私たちの多くと同様に、AI の進歩の速さを過小評価していたのかもしれません。

Anthropic 研究ブログの結び

リーマンゼータ関数は素数の分布を記述します。関数の値がゼロになる位置を零点と呼び、1つ知るごとに素数の配列にディテールが加わります。リーマン予想は、これらの零点がすべて同じ縦線上にあることを要求します。「全部」が証明できなければ、「少なくとも何パーセントが線上にあるか」を証明する。この線は極めてゆっくりしか伸びませんでした。

全体は、1人の人間とコーディネーター役の Claude の単一の長い会話で、54時間、3暦日にわたりました。コーディネーターはほとんど自分で数学をせず、サブエージェントを派遣するだけ。Anthropic 研究ブログによると、最初の650のアイデアはすべて失敗。次のラウンドでは約60のサブエージェント、2400本のシェルコマンド。過程の詳細は95ページの記録（Claude がログから書き起こし、数学は未検証）によるものです。核となるアイデアを出したのは2つ、空振りは30、間違い探し専門は13。人間の発言は4回で、ほとんどが keep going のような応援でした。

濃紺の2つの四角が、54時間で唯一核となる数学的アイデアに貢献したエージェント。半数が空振りで、アイデアを出した数より間違い探しの方がはるかに多い。

各サブエージェントのタスクシートは固定5項目。目標、対象、前提読書、事前に書いた予測、対照例。5番目は「リーマン予想が不成立と知られている対象」で方法をテストする。偽物の世界でも「証明」できてしまうなら、問題は方法自体にあります。さらに情報隔離（エージェントはメイン会話も互いの存在も見えない）と敵対的レビュー（成功を主張するものを間違い探し専門へ、レビューア同士の相互閲覧は禁止）。