OpenAI：其即将发布的下一代模型 Astra 拿下10个几十年都没人推动的数学难题
推理成本约 2000 美元，47 万行证明全部开源、机器已验完逻辑。从这十个结果能看出这个还没发布的模型强在哪。
- OpenAI 说它一个还没发布的模型解开了十个数学与理论计算机科学的老问题，最老的一个 1964 年提出。
- 这十个不属于同一种数学动作。最难的那一类要凭空造出一个谁都没见过的东西。
- 47 万行证明全部开源，机器已经把逻辑漏洞逐行查完了。但这条链上还有两头它管不着。
一个还没发布的模型，一次交了十个几十年的老问题
OpenAI 突然放出一份公告和一份 200 多页的论文，说他们下一代主力模型的一个内部版本，解开了十个数学和理论计算机科学的老问题。这不是十道竞赛题，最老的一个 1964 年提出，最年轻的也躺了二十多年，分散在八个互不相干的分支里。这十个结果也不属于同一种数学动作：有的是把几十年没动过的界往前推，有的是凭空造出一个谁都没见过的反例，后一类历来被认为是最难教给机器的。
模型叫 Astra，OpenAI 的下一代主力模型，还没对外发布，这次出成果的是它的一个内部版本。
成本极低：OpenAI 表示，在 Sol 的 API 费率下，解开这 10 个顶级难题消耗的 Token 成本仅约 2,000 美元（相比传统科研投入简直是白菜价）。
这十个问题分别是哪一年被提出来的：
这十个结果对应的问题被提出的年份，共 11 个点，极值图论那一项含两个猜想（1967 的退化度、1982 的紧致性）。横轴按年份等比，1977 与 1978、1994 与 1995 只差一年，所以两个点几乎叠在一起。年份取自 249 页论文各章引言与 Erdős 问题登记处。
Astra 是什么，现在能查到的就这些
Astra 还没发布，公开信息不多。
定位：OpenAI 的下一代主力模型家族，和现有的 Sol、Terra、Luna 并列，是一个新的模型类。最终叫 GPT-6 还是 GPT-5.7 这样的编号，还没定，也没有发布日期。
核心能力：被设计成靠协调多个 Agent、连续工作几小时甚至几天，去啃特别复杂的长链条难题。OpenAI 给的用例是复杂项目和高等数学。Sam Altman 已经在华盛顿向政界和监管者演示过。
还没解决的痛点：长流程跑久了会累积错误、跑偏之后能不能自己纠回来，这是目前这类系统公认的弱点，还没被攻克。多个 Agent 一起干，在耦合紧的任务上还可能因为协调开销比单个更差。Astra 在这上面做到了什么程度，没有任何公开证据，这十个数学结果是它唯一的公开成绩单。
上面「定位」和「核心能力」两条来自 The Information 的报道（援引三位知情人士），不是 OpenAI 官方公告，本站经 The Decoder 转述读到。官方确认的只有一句：公告正文一次都没出现「Astra」这个名字，只写「我们下一个主力模型的一个内部版本」；名字是 OpenAI 研究员 Noam Brown 在公告当天于 X 上点出来的。
十个结果，一张表先看全
十个结果各自破的是什么纪录，一张表看全。
| 领域 | 这次做到什么 | 卡了多久 |
|---|---|---|
| 高维几何 | 球堆积上限的指数被精确定死在 0.6044 | 1978 年至今 |
| 编码理论 | 二进制码与球面码的上限被指数级压低 | 1977 / 1978 年至今 |
| 凸几何 | Ehrhart 体积猜想在每个维度证出精确上界 | 1964 年提出 |
| 代数复杂度 | 积和式的电路下界与公式下界双双抬高 | 该领域的头号问题 |
| 量子复杂度 | 任意二人纠缠博弈都成立的指数并行重复 | Raz 1995 年经典版 |
| 格密码 | CVP 硬度首次达到固定多项式因子 n^(1/400) | 2003 年至今 |
| 群论 | 造出第一个非 sofic 群 | Weiss 2000 年提问 |
| 算子代数 | 推翻 Connes 刚性猜想 | 1994 年专著 Problem 1 |
| 极值组合 | 推翻紧致性猜想与退化度猜想 | 1982 / 1967 年 |
| 极值组合 | 多色 Ramsey 数的增长被定在 k 的 Θ(k) 次方 | Erdős 问题 183 |
「卡了多久」一列取自 249 页论文各章引言与 Erdős 问题登记处，本站逐条核对。极值组合那两行合起来是官方口径里的第十项，所以表上十行对应的是十项成果。
这十个不属于同一种数学动作，分三类看：第一类是把一条几十年没动过的界往前推；第二类是判定某件事到底算不算得动；第三类是凭空造出一个反例，把一个猜想直接推翻。
把东西塞得更密，几十年没人往前推过一步
第一类的三个问的是同一件事：在一个受限的空间里，最多能塞进去多少东西。
高维球堆积（sphere packing）
纪录停在 1978 年同样大小的球往空间里塞，最多能塞多满。二维是把硬币铺在桌上，塞到极限能盖住 90.7% 的桌面；三维是水果摊堆橙子，极限是 74%。这两个答案都已经被严格证明了，维度 8 和 24 的答案也在近十年被拿下，Maryna Viazovska 因为解决了 8 维那个，2022 年拿了菲尔兹奖。
可一般的高维情况，人连想象都做不到，只能估一个上限。而这个上限低到反直觉：一百维空间里，球最多只能占到全部体积的百亿亿分之一都不到。维度越高，空间越「空」，球之间的缝隙吃掉了几乎所有体积。
这个上限随维度掉得多快，用一个指数刻画。指数越大，掉得越快，上限就卡得越紧。这次把 Cohn–Elkies 这套方法能达到的指数精确算了出来：0.6044…
关键一步
Cohn–Elkies 这套方法把「球能塞多密」翻译成了一道造函数的题：造一个函数，要它在半径 1 以外不为正，同时它的傅里叶变换处处不为负。造出一个这样的函数，就能换来一条密度上限；函数造得越巧，上限卡得越紧。四十八年里，没人知道这套方法本身的极限在哪。
这次的做法是从高斯函数出发，它的傅里叶变换还是它自己，需要的对称性天生就有，可惜那个决定成败的临界半径落错了地方。于是给它乘上一个精心设计的偶函数做变形，把临界半径挪到需要的位置，同时一点不破坏那份对称性。挪动的距离算出来正好是 ½·log2，来自 Wallis 在十七世纪写下的一个乘积公式。
挪完之后，落点和另一条完全独立的路径（Mellin 反射）早就预言的半径严丝合缝对上了。一头造出函数给出上限，另一头证明再也造不出更好的，两头一夹，这套方法的极限就被钉死了。
此前的纪录是 Kabatianskii 和 Levenshtein 1978 年给出的 0.59905576…，四十八年里后续工作只改进了低阶因子，没人动过这个指数。0.599 到 0.604 看着只差一点点，但它在指数上，放到一千维，新上限比旧上限紧了约 40 倍。而且这次不只是往前推：它同时证明了这套方法里没有任何辅助函数能再前进一步。
各维度球堆积的最大密度（条长按对数刻度）
深色的两行是人类唯一精确算出答案的两个维度，8 维（Viazovska，2016）和 24 维。再往上，包括这次的结果在内，全都只是上限，真值没人知道。100 维那一行是按新指数算出的上限。条长按对数刻度，否则后面几行会短到看不见。
数值出自论文第 1 章。数轴按实际数值等比定位，两点之间的距离对应真实差值。
二进制码与球面码
纪录停在 1977 / 1978 年CD 划一道口子还能放，手机信号弱还能听清，二维码缺一角还能扫出来，靠的都是纠错码：把要传的内容编成一串 0 和 1，并且让任意两个合法的串至少差开若干位。差得越开，出错时越容易认回来，但合法的串也就越少，能传的信息量跟着变小。
所以核心问题是：抗错能力定死之后，最多还能留下多少个合法串。这个数字就是一条线路的效率天花板。这次对每一个固定的距离，都把这个天花板指数级地压低了；球面上的对应问题同样如此。
关键一步
经典的界（业内叫 MRRW 界）是靠一条固定的谱线算出来的。这次多加了一个自由度：让这条谱线可以动。第一版的递推式推错了，走查里专门有一节叫「为什么第一个二进制递推是错的」。
改对之后又发现，单靠这一个改进还压不过优化过的经典界，在相对距离 0.1 附近，新算法给 0.700，经典界是 0.693，反而更差。于是又造了一整套按「重量分层」的构造：把码限制在固定重量的一层壳上，让固定点的对称群分别作用在这层壳和它的补上。他们交出来的是一整个层级，而不只是一个改进过的多项式。这样才在每一个距离上都压了过去。
论文原话：这是这两个方向各自的一般高维指数自 1977 年和 1978 年以来的第一次改进。在距离趋近于零的极限下，球面那套构造还顺手把上面那条球堆积的最优指数又推导了一遍，两个看起来不相干的问题，底下是同一个东西。
Ehrhart 体积猜想
1964 年提出，62 年一间屋子，地板和空中每隔一米钉一个点，钉成一张三维的网格。你要在屋里吹一个气球，形状随便，只要是凸的（表面不能凹进去），但有两个要求：气球的重心正好压在一个网格点上；除了这个点，气球内部不许再包住任何别的网格点。
气球最大能吹到多大？三维的答案是 64/6，大约 10.7 个格子的体积。Ehrhart 1964 年猜：在每个维度上，最大的那个形状都是一个特定的三角锥。这次把这个猜想的精确上界在每一个维度上都证了出来：(n+1)ⁿ / n!
关键一步
这道几何题被搬去了复分析。原来的路子要求那个形状是「有理的」（顶点坐标都是分数），只有这样才接得上代数几何那套工具。这次的突破是发现这个前提根本不必要：任意一个中心化的凸体都能直接变成一个位势函数，然后把整个问题搬到复环面上去算。
代价是所有分析都得在一个非紧的空间上真的成立，不能靠紧性偷懒。中间还废掉过一条长路（调和对称化），走查里也记着。
Ehrhart 本人只证到了平面情形和所有维度的三角锥。对一般的凸体，此前已知的上界是 4ⁿ 这个量级，到十维时，这个旧上界比真值松了约 147 倍。
判定一件事到底算不算得动
那么第二类换了个方向。它问的不再是能塞多少。这一类要判定的是某个东西到底算不算得动、破不破得了，这一类离计算机和密码最近。
积和式：和行列式只差一个正负号，难度天差地别
这里的 permanent 是积和式，不是矩阵乘积，中文摘要常译错。
它是这么来的：n 个人分 n 个岗位，每个人对每个岗位有一个匹配分数。把「每人一岗、每岗一人」的所有分法列出来，每一种分法把 n 个分数乘起来，再把所有分法加总，这就是积和式。行列式的算式一模一样，唯一的差别是它给其中一半的分法加了负号。
行列式 determinant
det(X) = Σ sgn(σ) · Π xᵢ,σ(ᵢ)
一千阶的矩阵，笔记本用高斯消元几秒就算完了，大约十亿步。这套算法两百年前就有。
积和式 permanent
per(X) = Σ Π xᵢ,σ(ᵢ)
去掉那个正负号，已知最好的算法要遍历 2 的 n 次方个组合。到五十阶就是两百多亿亿步，笔记本彻底扛不住。
把这半个符号拿掉，同一个式子从「秒算」变成「算不动」。为什么会这样，至今没人说得清，Valiant 1979 年证明了积和式是所谓的 VNP 完全问题，意思是它站在一大批计数问题的顶端：只要有谁找到一个多项式规模的算式能算它，代数复杂度理论里一大片结论会跟着塌方。这是代数世界里的 P 对 NP。
关键一步
证法分两步：先造出很多个「好用的小构件」，再想办法把它们合成一个大的。乘起来不行，只要其中一个为零，整体就塌了。得加起来，因为那样它们各自的贡献会累加。
难就难在：怎么让一次积和式代换正好实现这个加法。答案是拿单位根（复平面单位圆上的等分点）去安排那些常数列，让所有跨构件的配对项在代数上刚好互相抵消掉，只留下每个构件自己内部的部分。四阶的小例子里就能看见这个抵消：混合块的那部分算出来正好是零。
头号问题当然没被解决。但这次把「至少需要多大」这条下界往上抬了：无除法的算术电路至少需要 Ω(n²·log log n) 个门；算术公式至少需要 Ω(n⁴/log n) 个叶子，后一条即使允许做除法（只要分母不恒为零）也成立。这类下界是从反面逼近那个头号问题的唯一办法：每往上抬一点，「它其实很好算」的可能空间就窄一点。
量子并行重复
经典版 1995 年，量子版一直空着两个嫌疑人被分开审讯，事先串好了口供。审一轮，他们有可能蒙混过去。那么把同一套问题同时问 n 遍、要求每一遍都对得上，蒙混的概率会掉得多快？
Raz 在 1995 年证明：只要单轮蒙混不了百分之百，重复 n 遍之后这个概率就指数级地掉下去。这条定理是「把一个不太可靠的检验重复几遍，就能变得极其可靠」的理论保证，现代密码协议和可验证计算都建在它上面。
问题出在量子这一边。把两人事先串好的口供换成量子纠缠，一种经典世界里不存在的关联，能让他们分开之后给出的答案仍然遥相呼应，这条保证还成不成立？这个问题悬了三十年。这次对任意有限的二人纠缠博弈都证出了指数衰减。
关键一步
经典证明里有一步要开平方根，搬到量子上会炸：算子的平方根在很小的本征值上导数发散，而量子策略的系数可以要多小有多小，所以这不是一个可以忽略的常数。
这次守住的原则是：保住量子概率本身不变，同时把那些捣乱的本征值尺度摊开。第一版靠对虚数次幂做平均来实现，后来换成一个更简单的做法。走查里特别强调了一处不能松的地方，这里的运算不可交换，一旦把乘积当成普通数字随便调换顺序，就会滑回那个错误的论证。
此前最强的一般性结果是 Yuen 在 2016 年给出的，只能证到多项式衰减；指数衰减此前只在几类特殊博弈上成立。
最近向量问题（CVP，closest vector problem）
上一次进展 2003 年一座无限大的城市，路口不按正南正北排，而是按一个歪斜、拉伸过的网格分布。给你城里任意一个地点，问离它最近的路口在哪。二维的时候一眼就能看出来，几百维就没有已知的快速办法了。
正因为难，它成了后量子密码的地基之一，美国国家标准与技术研究院已经标准化的那批抗量子加密算法，安全性就建在这类格问题上。所以「证明它更难」对密码是好消息，不是坏消息：每证明一层「连近似都做不到」，就等于给这套加密多垫一道地基。
这次从 3SAT 直接归约，证明了把 CVP 近似到 n^(1/400) 倍以内仍然是 NP 困难的。这是第一次拿到一个固定的多项式因子。
关键一步
先绕了一条长弯路（带符号的多元矩直方图），走查里如实记着。最后换的思路是：用幂和来编码一份 3SAT 赋值，不记录那些数本身，只记录「它们的一次方加起来是多少、二次方加起来是多少、三次方……」。收方能从这一串幂和把原来的数集反推回来（Hankel 重构），而且在特征二的域上照样成立。
再用移位之后的矩，把「每个子句都被满足」这件事，转成「同一个全局代数根同时满足所有子句」的性质。整条归约不用随机数、不用 PCP 定理、也不依赖投影博弈猜想，这在这类硬度证明里少见，之前的路子几乎都要靠 PCP。
此前最好的是 Dinur、Kindler、Raz、Safra 在 2003 年给出的 n^(a/log log n)。这个因子虽然比 log n 的任意次方都长得快，但它的指数趋向于零，所以够不着任何固定的 n^c。另外这次的归约全程不用随机化、不用 PCP 定理、也不依赖投影博弈猜想。⚠️ 一个必要的限定：论文自己写明了，现用的加密算法依赖的是平均情况下的困难性和结构化假设，并不直接建立在 CVP 最坏情况的 NP 困难性上，这条结果划的是理论边界，不等于给现有算法发了安全证书。
凭空造出一个谁都没见过的反例
但真正难的是第三类。前两类是把一条已经画好的线往前推，方向是明确的。这一类要无中生有：先在脑子里立起一个从来没人见过的数学对象，再证明它确实存在、并且确实同时满足那几条互相打架的条件。四个结果落在这一类里，其中三个直接推翻了一个流传几十年的猜想。
非 sofic 群
Weiss 2000 年提问，26 年一个「群」可以理解成一套动作和它们的接续规则，比如魔方的所有转法，转两下等于转另外一下，这些关系合起来是一张巨大的规则表。有些群是无限大的，表也就无限大。
说一个群是 sofic，意思是：不管你从这张无限大的表里截出哪一小块，都能找来一副有限的牌、规定一套洗牌方式，把这一小块规则严丝合缝地复刻出来，用摆得上桌的有限东西，模拟一个无限的结构。片段截得越大，牌就得越多，但总归找得到。
Gromov 在 1999 年提出这个性质，Weiss 2000 年给它起了名字，并问出那个问题：有没有哪个群，你怎么截、用多少张牌都复刻不出来？这次直接造了一个出来。
关键一步
难点在于要把两样互相打架的东西装进同一个结构里：一样能提供「怎么都逼近不了」的障碍，另一样能在「假设逼近得了」时导出矛盾。以前的尝试总是让缺陷从缝隙里溜走。
这次找到的舞台是一个自己套自己的代数：二元 Leavitt 代数，这个环和它自己的 2×2 矩阵环完全同构，整个结构能原封不动地塞进自己的一个角落里，一个系数都不丢。正是这个自相似性，让具有 (T) 性质的刚性群和 Thompson 群 V 第一次能待在同一个环里，前者提供障碍，后者提供矛盾。
这个「有」为什么要紧：过去二十多年里，一批定理是这么写的，「对所有 sofic 群成立」。因为谁也找不出反例，很多人默认这句话约等于「对所有群成立」。现在反例摆出来了，这些定理第一次有了真实的适用边界。此前所有已知的路线都是有条件的：先假设某个群具有某种稳定性，才能推出非 sofic 群存在。这次是无条件的构造。
Connes 刚性猜想
1994 年专著里的 Problem 1从一个群可以造出一个叫「群冯诺依曼代数」的东西。这一步可以当成给一台机械装置拍 X 光：零件的颜色、材质、编号全部消失，只剩下哪个咬合哪个的骨架。原来那些具体的元素叫什么名字、长什么样，拍完就没了，留下的只有操作之间的关系结构。
Connes 猜测：对某一类特别「刚硬」的群（无限共轭类，加上 Kazhdan 的 (T) 性质），这张 X 光片足以唯一还原出原来那台装置，两个群拍出同一张片子，它们就一定是同一个群。
这次造出了无穷多个互不同构的群，拍出的是同一张片子。猜想被推翻。
关键一步
这一步用的东西小学就学过：二进制加法的进位。
他们在完全相同的一组坐标上，架了两套不同的加法法则，一套是普通的逐位相加，另一套多带一个进位项。两套法则用的是同一片空间、同一个概率测度，随机地看它们一模一样。
进位对「被测量看到的那一面」完全隐形，对「离散的那一面」却清清楚楚。X 光片只拍得到测量看到的那一面，所以两个群拍出同一张；而群本身活在离散那一面，所以它们确实不是同一个群。猜想倒在这条缝上。
这类「某个不变量能不能唯一决定原对象」的问题，是数学里最常见的一族。答案是「不能」，意味着这张 X 光片丢掉的信息比几十年来大家以为的多。这个猜想源自 Connes 1980 年的刚性定理，1982 年在 Kingston 会议文集里成形，并作为 Problem 1 明确写在他 1994 年那本专著里。这次的结果还顺带否定了 Popa 提出的一个相关的「有限对一」问题。
极值图论的两个猜想
1967 年和 1982 年，对应 Erdős 问题 146 与 180一场聚会 n 个人，任意两人可以握手也可以不握。现在下一条禁令，比如「不许出现四个人首尾相接握成一个圈」，那么最多还能握多少次手？这类问题就是极值图论。禁掉四人圈的答案大约是 n 的 1.5 次方的一半，一百人的聚会，最多握大约 500 次，而不设限的话可以握 4950 次。禁令越强，能握的手就越少，两者之间的换算关系就是这个学科要算的东西。
紧致性猜想（Erdős 与 Simonovits，1982）问的是：如果你一口气禁掉好几种模式，是不是总有其中某一种在唱主角，禁它一个就跟禁一整族差不多？这次造出一族图，禁掉整族只剩 O(n^(4/3−1/48)) 次握手，而禁掉族里任意单个成员都还剩 Ω(n^(4/3)) 次，中间差着 n^(1/48) 这个多项式因子，一个常数倍远远兜不住。
退化度猜想（Erdős，1967）给的是一条用「这个图有多稀疏」来预测上限的公式。这次在最简单的那一档上就造出了反例。
关键一步
难点是要造出多项式级的差距，光是常数倍不算数。常见的偶圈不够用，禁掉四人圈和六人圈得到的量级，正好和单禁六人圈一样；把旧的森林反例锥化或细分，又会引进一个公共的稠密子结构，两边同时变密。
决定性的动作是换舞台：改用几何里的广义四边形当宿主图。普通射影平面虽然也记得住底下那个域的特征，但它含六人圈、边数量级不对；广义四边形保住了特征的区分，同时把最短的圈拉到八，边数正好落在 n 的 4/3 次方上。然后在这张二部图的两侧各设一个门槛，让它们跨着两侧互相作用。
这两条猜想背后是同一个直觉：结构越简单、越稀疏，能握的手就越少，而且少得有规律。两个反例说明这个直觉在某处是错的。它们在 Erdős 问题登记处的编号是 180 和 146，后者悬赏 500 美元。
多色 Ramsey 数
Erdős 问题 183，悬赏 250 美元还是握手计数那个聚会问题。这次给每一对人之间标一种颜色，一共 k 种颜色可选。人一多，必然会出现三个人，他们两两之间的颜色完全相同，躲不掉。让这件事必然发生的最少人数，就是多色 Ramsey 数 R(3;k)。
两种颜色时答案是 6：六个人的聚会里，一定有三个互相都认识、或者三个互相都不认识。这是著名的「六人定理」。三种颜色跳到 17。四种颜色，人类至今只知道它落在 51 到 62 之间，具体是多少没人算得出来。
Erdős 问的是：颜色数很大时它涨得多快，并且悬赏 100 美元求证明「R(3;k) 开 k 次方之后的极限是有限的」。这次给出的超指数下界回答了这个问题，那个极限不是有限的。结合早就知道的阶乘上界，增长速度被定死在 k 的 Θ(k) 次方。
关键一步
过去所有构造都是同一个套路：找一个好的小例子，然后拿它自乘自乘再自乘。这条路有个天生的天花板，每自乘一次，颜色数和人数按固定比例一起涨，那个决定增长速度的「底数」纹丝不动。只要还在自乘，极限就永远是有限的。想让它跑到无穷，必须造一族底数会跟着颜色数一起长的构造。
两条看着可行的捷径都被验掉了：按「第一个错位的符号」给排列染色，会正好造出要禁的那种单色三角形，三个排列可以把同一个符号挪到三个不同位置；改用 Cayley 图染色，则退化成同样难的另一个老问题。
最后的办法是把颜色切成许多互相分离的调色板，每块内部各染各的，块与块之间的边用一条递归规则去协调。这样颜色数一涨，底数跟着涨。
此前的下界只到指数级别。这个结果还顺带推出：独立数为 2 的图，它们的 Shannon 容量没有上界。
十个结果合起来，这个模型露了什么底
所以把这十个摆在一起看，能读出什么。下面每一条都来自前面已经交代过的事实，不是对能力的形容。
一、覆盖面是八个互不相干的分支
上面这八个标签之间几乎没有共用的技术工具。一个在球堆积上有效的傅里叶方法，搬不到群冯诺依曼代数上去。同一个模型在八处同时出结果，和在一个方向上深挖出一个结果，是两件不同的事。
二、会两种动作，其中一种是造对象
推进一条已有的界，路径是明确的：目标函数在那儿摆着，往前优化。而造反例要先在脑子里凭空立起一个从没存在过的结构，再证明它同时满足几条互相拉扯的条件，非 sofic 群、Connes 刚性的那一族群、极值图论的两个反例，都属于后者。第三类占了十个里的四个。
三、在球堆积那一项上，它知道自己走到头了
那个结果不只把上界推到 0.6044，还配了一个匹配的下界，证明在 Cohn–Elkies 这套框架里没有任何辅助函数能再往前推。这等于给自己刚用的方法画了一条边界：到此为止，想再进一步得换工具。
四、47 万行 Lean 是模型自己写的
论证成形之后，人和同一个模型一起把它整理成手稿，然后由模型把每个论证形式化进 Lean。把一个几十页的数学论证翻译成机器逐行可查的严格代码，本身是一项独立的、极其繁琐的工程。
五、过程里有大量走不通的路
随结果一起发布的 62 页思路走查里，有些小节标题直接就是失败记录：「为什么第一个二进制递推是错的」「自然的归约和有根树的想法为什么卡住了」，还有一节写着「还有第二个、更顽固的诱惑」。这些说明整件事不是一次生成，中间有长时间的试错和返工。
六、便宜到不构成障碍
这 2000 美元只算了搜索答案那部分的 token，不含训练模型的成本、不含失败尝试、也不含后面人整理手稿的时间。它说明的是推理这一步已经不贵了，不是「2000 美元买十个定理」。
凭什么信：47 万行证明，机器已经逐行查完了
AI 声称做出数学结果早就不是新闻，以往的争议永远卡在同一处：谁来审，审得过来吗。这次把逻辑检查交给了机器：十个证明全部用 Lean 重写，逐行验完，代码开源。
Lean 是一个证明助手。你把一个数学证明用它的语言重写一遍，写完之后有一个很小的核心程序逐行检查：每一步是不是严格地从前面几步和几条公理推出来的。检查通过，就意味着这个证明里没有逻辑漏洞。
它像一个查账的审计员：审计员不需要懂你这门生意，他只核对每一笔进出的加减对不对、有没有凭证。对不上就打回，跟这笔账在商业上多合理没关系。Lean 也一样，它不理解什么是冯诺依曼代数，只认每一步推导合不合法。数学证明历来要靠同行专家一行行读，而能读懂这十个方向的人本来就没几个，这正是「AI 做数学」以往永远卡住的地方。
形式化验证的作用范围（本站按仓库结构绘制的示意图）。
本站把仓库 clone 下来数了一遍。47 万行是什么概念，一行一秒不停地读，不吃不睡要读五天半。这些是实测数字：
sorry 是 Lean 里的占位符，意思是「这一步我先跳过」。一个证明里只要出现一个，它就是有洞的。全库一个都没有。
公理（axiom）是整套推理最底下不再往下证的出发点。Lean 标准只有三条，propext、Classical.choice、Quot.sound。谁要是偷偷加了自己的第四条，等于中途换了规则，结论就不能算数。这十个证明只用了那三条，而且每个结果的验证配置里都单独写明了允许哪几条。
仓库里还留了一条独立复检通道：Comparator 加上 nanoda。nanoda 是 Lean 官方内核之外另写的一个类型检查器，意思是你可以连 Lean 自己都不信，换一个独立实现的内核再验一遍。
十个证明各自的 Lean 行数（本站实测）
行数长短不代表结果的分量，它反映的是把这个论证翻译成机器语言有多繁琐。多色 Ramsey 的结论很强，形式化却只用了三千行。
机器管不着的两头，和一场关于署名的正面分歧
但机器能担保的只有中间这一段。上面那条链的两端，都还空着。
深色 = 已经完成的两格
前端：翻译对不对，机器不管
把一个用自然语言描述了几十年的猜想，翻译成 Lean 里的形式命题，这一步是人或 AI 做的。如果翻译时命题被悄悄弱化了、或者某个定义跑偏了，Lean 照样会打绿灯，它只负责从命题推到结论这一段，不负责判断这个命题是不是数学家心里的那个问题。
OpenAI 为这一步做了准备：仓库的 ComparatorChallenges 目录下，每个结果都单独列出了要验证的定理名，比如 Ramsey 那个列的是 ErdosProblems.MulticolourTriangleRamsey.erdos_183 等四条。这等于把「我声称证的就是这个命题」摊开给人检查。但摊开和已经有人检查过，是两回事。
后端：复核状态写着「由 AI 审阅」
仓库根目录的 formalization.yaml 末尾有一行，公告里没提：
formalization.yaml · 文件末尾
review: status: "agent-reviewed"
也就是说，这套形式化的复核状态是agent-reviewed，由 AI 审阅，不是人审。加上那份 249 页的论文没有经过同行评审、作者栏只写着「OpenAI」而没有任何一个人名，这条链的最后一格目前是空的。
另外，公开的「思考过程」不是思维链
公告里说，为每个解都发布了模型对自己思考过程的叙述。这句话容易被读成原始思维链公开了。那份 62 页文档在自己的摘要里交代了它的来历：这些笔记由一个 AI 模型撰写，它读了原始的思维链和最终的论文，然后重构出这个证明是怎么成形的。想拿它研究模型到底怎么推理，中间隔着一层。
最大的分歧在署名上
这一段不需要任何判断，把两份文件的原话摆在一起就够了。
OpenAI 的公告
「我们认为署名应当诚实反映一个结果是怎么产生的：把一个完全由 AI 系统生成的证明说成是人类的著作，会同时曲解这个系统的贡献和真正的人类智力工作的性质。我们协助准备了手稿、把证明形式化进 Lean，并为它们的正确性负责，而数学论证本身是由我们的系统生成的。」
莱顿宣言 · 国际数学联盟背书
「当自动化技术被用于已发表的数学研究时，论证与结果的正确性和充分性……其责任完全属于人类作者。荣誉与责任继续属于数学共同体中的人类，不应授予自动系统。AI 可能会遮蔽、但并不取代一个结果背后的人类集体劳动。」
OpenAI 在同一段公告里说，自己对莱顿宣言的签署者「深表尊重和理解」。那份宣言的价值观一节还写着：结果应当可归属于具体的作者，由他们领取发现的荣誉、承担正确性的责任。而这次 249 页论文的作者栏上没有人名。
公平地说，宣言里另有一条建议 OpenAI 这次是照做了的，「披露工具使用」。模型、成本、形式化的过程，它都摊开写了。
登记处的维护者本人开口了，登记处本身还是 OPEN
Erdős 问题登记处（erdosproblems.com）由曼彻斯特大学数学家 Thomas Bloom 维护，是这个领域事实上的权威索引，OpenAI 自己那份 249 页论文的参考文献里就引用了它。
公告发出当天，Bloom 本人在 X 上开了口：
大新闻！（其实不太是我的领域，不过是的，我会把它排在单位距离反例之上。也许比不上真把单位距离猜想证下来，但就构造而言，这是件大事。）
Thomas Bloom · X · 2026-08-01
他说的「单位距离反例」，指的是 OpenAI 今年 5 月放出的那个结果，用一个未发布模型推翻了 Erdős 的单位距离猜想。他把这次这十个排在那个之上，理由是「就构造而言」，也就是本文第三类那种凭空造出对象的活。
十分钟后他又发了一条，反驳把这件事说成 AI 取代数学家：
拿一个数学家提出的猜想，用一个多世纪以来数学家发展出的理论，靠一个由数学家造出来、并且读遍了数学家写过的一切训练出来的 AI 去证明它，把这叫做「取代数学家」，是不对的。
Thomas Bloom · X · 2026-08-01
不过评价归评价，登记处本身还没动。本站在 2026 年 8 月 2 日再去看那三个问题：
多色 Ramsey 数
悬赏 250 美元
退化度猜想
悬赏 500 美元
紧致性猜想
OPEN三个条目都还标着未解决，并且都写着「评论中没有任何声称的解，无论部分还是完整」。
这两件事要分开看。维护者的公开评价，和登记处逐条核验入库，是两回事。Bloom 自己也注明了「不太是我的领域」，他给的是一位资深数学家对分量的判断，不是对每一步证明的核验。要走完核验，专家得读完几十页论文、核对几万行 Lean 里的命题声明，还得确认那些形式命题就是原来那个问题。这需要的时间远不止几天。
领域内的权威人士已经公开肯定了它的分量，而十个结果里还没有一个走完独立核验的流程。
更难的那一层还没够到，而它要先过一道政府审查
所以这件事接下来往哪走。有三条线索都不在公告里。
他们试过更难的，没成
Noam Brown 在公告当天补了一句公告里没有的话：
是的，我们确实试过其他重大问题，没有成功。很遗憾，还没有千禧年大奖难题。
Noam Brown · X · 2026-08-01
但我们在每个问题上也没花多少算力。测试时算力还可以往上推很多。
千禧年大奖难题是克雷数学研究所 2000 年设立的七个问题，每个悬赏一百万美元。二十六年过去，只解出过一个。
这两句和前面那 2000 美元连起来是一个意思：这十个是在没怎么使劲的前提下拿下的；而真使上劲之后能不能够到最上面那一层，目前谁也不知道。他把 Astra 称作「科学推理的一大步」。
它会是第一个被政府审的模型
按 The Information 的报道，Astra 已经在测试中，预计将成为第一批走美国政府新 AI 审查框架的模型，按这套框架，模型公开发布前须先提交联邦政府。框架本身还在定稿阶段。
这件事对读者的意义在于：这十个数学结果既是能力展示，也出现在一个模型即将接受官方审查的时间点上。两件事同时发生，本站不对动机做判断，只把时间线摆出来。
更远的目标：会自己做研究的 AI
报道里给了两个时间点。OpenAI 希望在 2028 年 3 月前做出一个能独立跑研究项目的全自动 AI 研究员；更近的一个是今年 9 月，他们计划拿出一个具备「研究实习生水平」的系统，用来给人类科学家提速。
这十个数学结果，是这条路线上目前唯一交出来的实物。它证明了在一个能被机器验完逻辑的领域里，这套东西已经能拿到真结果。它没有证明的是：在一个没法形式化验证的领域里，同样的做法能不能成立，那正是绝大多数科研所在的地方。
想自己核，链接和命令都在这儿
这场署名争议你可以不用只听两边说，材料全是公开的。不过那份 249 页的论文和 62 页的思路走查，公告正文里一个链接都没给，只能从 GitHub 仓库的 README 里翻到。
装好 elan 之后，在仓库根目录跑
lake exe cache get lake build All # 只验其中一个（球堆积），走第三方内核 lake exe comparator ComparatorChallenges/A_SpherePacking.json
一个还没发布的模型解开十个几十年的数学难题，证明全部让机器逐行验过
OpenAI 交出十项数学与理论计算机科学的结果，论文、证明代码、成本全摊开，一页带图讲清这十个是什么、凭什么信、还差哪一步。
↓ 一页读完 · 有一张会动的图
OpenAI 放出一份公告和一份 249 页的论文，说他们下一代主力模型的一个内部版本，解开了十个数学和理论计算机科学的老问题。最老的一个 1961 年提出，最年轻的也躺了二十多年，分散在八个互不相干的分支里。
模型叫 Astra，还没对外发布。这个名字在公告正文里一次都没出现，是 OpenAI 研究员 Noam Brown 当天在 X 上点出来的。
十个结果对应的问题分别在哪一年被提出，轴上 11 个点（极值图论那一项含两个猜想）。年份取自 249 页论文各章引言与 Erdős 问题登记处，本站逐条核对。
这十个不属于同一种数学动作。分三类看，才看得出这个模型强在哪。
每行右边列的是落在这一类里的问题名。第三类历来被认为最难教给机器：前两类沿着一条已经画好的线往前推，这一类要先立起一个从没存在过的结构，再证明它同时满足几条互相拉扯的条件。另一半分量在覆盖面上，这八个分支之间几乎不共用工具，在球堆积上管用的方法，挪到群论那边一点用没有。
AI 声称做出数学结果早就有过，争议永远卡在同一处：谁来审，审得过来吗。这次逻辑这一关交给了机器。
Lean 是一个证明助手：把证明用它的语言重写一遍，一个很小的核心程序逐行核对每一步是不是严格从前面几步和公理推出来的。它像查账的审计员，不需要懂你这门生意，只核对每一笔进出对不对。十个证明全部用 Lean 重写、逐行验完、代码开源。
sorry 是 Lean 里的占位符，意思是「这一步先跳过」，出现一个就说明证明有洞。公理是整套推理最底下不再往下证的出发点，偷加一条等于中途换了规则。仓库里还留了一条复检通道：连 Lean 自己的内核都可以不信，换一个别人写的内核再验一遍。
机器能担保的只有中间这一段。这条链的两端都还空着。
把一个用自然语言描述了几十年的猜想，翻成 Lean 里的形式命题（机器能逐行核对的严格写法），这一步是人或 AI 做的。翻译时命题被悄悄弱化、定义跑偏，Lean 照样打绿灯，它只负责从命题推到结论这一段。
agent-reviewed，这一关由 AI 审。Erdős 问题登记处（这个领域事实上的权威索引）上 #183 / #146 / #180 到 8 月 2 日仍标着未解决（本站实查），三天对要读几万行 Lean 的专家太短，登记处维护者 Thomas Bloom 本人当天已在 X 上公开肯定了这十个结果的分量。逻辑这一关交给机器之后，争议全部落在另一个问题上：这些证明该署谁的名。
「论证与结果的正确性和充分性，其责任完全属于人类作者。荣誉与责任继续属于数学共同体中的人类，不应授予自动系统。」
「把一个完全由 AI 系统生成的证明说成是人类的著作，会同时曲解这个系统的贡献和真正的人类智力工作的性质。」
249 页论文的作者栏上因此只有「OpenAI」，没有任何一个人名。
宣言里另有一条 OpenAI 这次照做了：披露工具使用，模型、成本、形式化的过程都摊开写了。
几十年没人推动的？
和一份 249 页的论文：
一个还没发布的模型，
一次解开十个数学老问题。
没动过的界
往前推
到底
算不算得动
再证明它真的成立。
把证明用它重写一遍，一个很小的程序逐行核对，
每步是不是严格从前面几步推出来的。
逐行验完，全部开源。
要读五天半
翻成 Lean 里的形式写法，
这一步是人或 AI 做的。
翻译时命题被悄悄弱化，
Lean 照样打绿灯。
- × 命题翻得对不对，没人核过
- × 249 页论文没有同行评审
- × 作者栏只写 OpenAI，没有人名
- × 配置文件里复核状态写着由 AI 审阅
数学共同体中的人类，
不应授予自动系统。」
证明说成人类的著作，
会同时曲解这个系统的贡献
和真正的人类智力工作。」
剩下的两头还没人走完
不用只听两边说，可以自己跑一遍。